Phép cộng và phép trừ: Hai mặt của cùng một đồng xu

Phép cộng: từ đếm cụ thể đến tư duy trừu tượng

Phép cộng bắt đầu với đếm. Khi trẻ em đầu tiên học cộng, chúng thường sử dụng chiến lược “đếm tất cả”. Để giải 3 + 4, một đứa trẻ có thể đặt ra ba khối, đặt ra bốn khối khác, rồi đếm tất cả chúng: một, hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy. Đây là bước đầu tiên quan trọng vì nó liên kết thao tác trừu tượng (3 + 4) với hành động cụ thể (kết hợp các tập hợp đối tượng).

[Hình ảnh 1: “addition strategies counting all counting on making tens number bonds base-ten blocks” – Chiến lược cộng: Đếm tất cả (counting all) với các khối cụ thể, Đếm tiếp (counting on) trên trục số, Tạo số tròn chục (making tens: 8+5 = 8+2+3 = 10+3), Liên kết số (number bonds), Khối hệ thập phân]

Dần dần, trẻ em phát triển chiến lược hiệu quả hơn gọi là “đếm tiếp” (counting on). Thay vì đếm cả hai nhóm, chúng bắt đầu từ một số và đếm lên. Để giải 3 + 4, đứa trẻ bắt đầu từ 3 (hoặc thậm chí tốt hơn, từ 4, số lớn hơn) và đếm lên bốn (hoặc ba) số: “bốn, năm, sáu, bảy”. Đây là một bước tiến nhận thức đáng kể vì nó đòi hỏi đứa trẻ phải giữ một số trong đầu trong khi đếm.

Nghiên cứu phát triển đã chỉ ra rằng sự chuyển đổi từ “đếm tất cả” sang “đếm tiếp” không tự nhiên xảy ra với tất cả trẻ em. Thomas Carpenter và các đồng nghiệp, trong nghiên cứu lâu dài CGI (Cognitively Guided Instruction), đã phát hiện ra rằng “trẻ em phát triển những chiến lược này theo các tốc độ khác nhau, và việc giáo viên hiểu các chiến lược này cho phép họ hỗ trợ sự phát triển của từng đứa trẻ một cách thích hợp”.

Cuối cùng, với kinh nghiệm và thực hành, trẻ em ghi nhớ các sự kiện cộng cơ bản – chúng biết ngay lập tức rằng 3 + 4 = 7 mà không cần đếm. Nhưng ngay cả khi đã ghi nhớ, điều quan trọng là chúng hiểu sâu sắc tại sao 3 + 4 = 7, không chỉ biết rằng nó đúng.

Chiến lược cộng nâng cao

Khi trẻ em trở nên thành thạo hơn, chúng phát triển các chiến lược tinh vi hơn. Một trong những chiến lược mạnh mẽ nhất là “tạo số tròn chục” (making tens). Để cộng 8 + 5, thay vì đếm, một đứa trẻ có thể nghĩ: “8 cần 2 để đến 10, nên tôi chia 5 thành 2 và 3. 8 + 2 = 10, và 10 + 3 = 13”. Chiến lược này tận dụng cấu trúc hệ thập phân của hệ thống số của chúng ta.

Một chiến lược quan trọng khác là sử dụng “liên kết số” (number bonds) hoặc “họ số” (number families) – nhận ra rằng các số có thể được phân tách và tổng hợp theo nhiều cách. Ví dụ, 7 có thể được xem là 5 + 2, 4 + 3, 6 + 1, v.v. Sự hiểu biết linh hoạt này về cấu trúc số là nền tảng cho tư duy số mạnh mẽ.

Liping Ma, trong cuốn sách có ảnh hưởng “Knowing and Teaching Elementary Mathematics”, đã so sánh cách giáo viên Trung Quốc và Hoa Kỳ dạy cộng và trừ. Bà phát hiện ra rằng giáo viên Trung Quốc nhấn mạnh nhiều hơn vào việc hiểu sâu về cấu trúc số và mối quan hệ, trong khi giáo viên Hoa Kỳ có xu hướng tập trung vào các thủ tục. Bà viết rằng “hiểu biết sâu về ý nghĩa của cộng và trừ, không chỉ là thủ tục, là những gì phân biệt sự thành thạo toán học thực sự với việc thực hiện máy móc”.

Phép cộng với số lớn

Khi số lớn hơn, chúng ta cần các thuật toán có hệ thống. Thuật toán cộng chuẩn (standard addition algorithm) – sắp xếp số theo cột, cộng từ phải sang trái, “nhớ” (carrying) khi cần thiết – là một công cụ mạnh mẽ. Nhưng điều quan trọng là học sinh hiểu tại sao nó hoạt động, không chỉ làm theo các bước một cách máy móc.

Thuật toán hoạt động vì hệ thống số của chúng ta dựa trên giá trị theo vị trí (place value). Trong số 347, chữ số 7 đại diện cho 7 đơn vị, 4 đại diện cho 4 chục (40), và 3 đại diện cho 3 trăm (300). Khi chúng ta cộng 347 + 286, chúng ta thực sự đang cộng (300 + 40 + 7) + (200 + 80 + 6). Chúng ta cộng các đơn vị (7 + 6 = 13 = 1 chục và 3 đơn vị), cộng các chục (4 + 8 + 1 = 13 chục = 1 trăm và 3 chục), và cộng các trăm (3 + 2 + 1 = 6 trăm).

Không hiểu khái niệm giá trị theo vị trí và “nhớ” (hay “nhóm lại” – regrouping) là một trong những nguồn gốc phổ biến nhất của lỗi trong phép cộng. Học sinh có thể thực hiện các bước máy móc mà không hiểu tại sao chúng làm những gì chúng làm, dẫn đến lỗi khi chúng gặp các biến thể.

Karen Fuson, một nhà nghiên cứu hàng đầu về giáo dục toán học tiểu học, đã viết rằng “hiểu biết về giá trị theo vị trí là không đàm phán. Nó là nền tảng cho tất cả công việc với số nhiều chữ số. Học sinh cần nhiều trải nghiệm cụ thể với các vật liệu như khối hệ thập phân để xây dựng sự hiểu biết này trước khi chuyển sang các thuật toán trừu tượng”.

Phép trừ: nghịch đảo phức tạp

Phép trừ về mặt khái niệm phức tạp hơn phép cộng vì nó có thể đại diện cho các tình huống khác nhau. Như đã đề cập trong bài trước, có ba cách hiểu chính về phép trừ:

1. Lấy đi (Take Away): Bạn có 7 quả táo, bạn ăn 3, bạn còn 4.
2. So sánh (Comparison): Bạn có 7 quả táo, bạn bè có 3. Bạn có nhiều hơn bao nhiêu? 4.
3. Thiếu bao nhiêu (Missing Addend): Bạn có 3 quả táo, cần bao nhiêu nữa để có 7? 4.

Mỗi cách hiểu này có thể dẫn đến các chiến lược giải quyết khác nhau. Đối với “lấy đi”, trẻ em có thể thực sự lấy đi các đối tượng và đếm những gì còn lại. Đối với “so sánh”, chúng có thể đặt hai nhóm cạnh nhau và thấy có bao nhiêu nhiều hơn. Đối với “thiếu bao nhiêu”, chúng có thể bắt đầu từ số nhỏ hơn và đếm lên đến số lớn hơn.

Nghiên cứu cho thấy cách hiểu “thiếu bao nhiêu” đặc biệt mạnh mẽ vì nó làm rõ mối quan hệ giữa cộng và trừ. Nếu học sinh hiểu rằng 7 – 3 thực sự đang hỏi “3 cộng với gì bằng 7?”, chúng có thể sử dụng kiến thức về phép cộng để giải quyết phép trừ. Chiến lược “nghĩ cộng” (think addition) này đặc biệt hữu ích với các số lớn.

Chiến lược trừ và thuật toán

Giống như với phép cộng, trẻ em phát triển các chiến lược ngày càng tinh vi cho phép trừ. Chúng có thể bắt đầu với “đếm ngược” (counting back) – để giải 7 – 3, bắt đầu từ 7 và đếm ngược ba: “sáu, năm, bốn”. Hoặc chúng có thể sử dụng “đếm lên” (counting up) – bắt đầu từ 3 và đếm lên cho đến 7: “bốn, năm, sáu, bảy” – đó là bốn bước.

Với số lớn hơn, thuật toán trừ chuẩn sử dụng “vay” (borrowing) hay “nhóm lại” (regrouping). Để trừ 62 – 37, chúng ta không thể trừ 7 từ 2, nên chúng ta “vay” một chục từ hàng chục: 62 trở thành 5 chục và 12 đơn vị. Bây giờ chúng ta có thể trừ: 12 – 7 = 5 (đơn vị), và 5 – 3 = 2 (chục), cho câu trả lời 25.

Một lần nữa, hiểu biết về giá trị theo vị trí là chìa khóa. Khi chúng ta “vay” một chục, chúng ta thực sự đang nhóm lại 1 chục (10 đơn vị) thành 10 đơn vị. Không hiểu điều này dẫn đến các lỗi phổ biến, như “trừ nhỏ từ lớn” trong mỗi hàng bất kể số nào nằm trên cùng.

Một số nhà giáo dục ủng hộ việc dạy các thuật toán thay thế trước hoặc cùng với thuật toán chuẩn. Ví dụ, “phương pháp nhảy trên trục số” (jump strategy) hoặc “trừ bằng cách cộng lên” (subtraction by adding up). Để giải 62 – 37, bạn có thể nghĩ: từ 37, thêm 3 để đến 40, thêm 20 để đến 60, thêm 2 để đến 62. Tổng cộng 3 + 20 + 2 = 25.

Constance Kamii, một nhà giáo dục toán học nổi tiếng, đã lập luận mạnh mẽ rằng “dạy thuật toán chuẩn quá sớm có thể cản trở sự phát triển của sự hiểu biết số thực sự. Trẻ em cần cơ hội để phát triển các chiến lược riêng của chúng dựa trên hiểu biết về số trước khi được dạy các thủ tục”.

Mối quan hệ giữa cộng và trừ: họ số

Một trong những hiểu biết quan trọng nhất trong số học sớm là nhận ra mối quan hệ giữa cộng và trừ. Chúng là các phép tính ngược: nếu 3 + 4 = 7, thì 7 – 4 = 3 và 7 – 3 = 4. Ba số này (3, 4, và 7) tạo thành một “họ số” (number family hay fact family).

Hiểu biết họ số có nhiều lợi ích. Thứ nhất, nó giảm bớt tải trí nhớ – thay vì ghi nhớ các sự kiện cộng và trừ riêng biệt, học sinh có thể thấy chúng như các phần của cùng một mối quan hệ. Thứ hai, nó cung cấp một cách để kiểm tra công việc – nếu bạn nghĩ 62 – 37 = 25, bạn có thể kiểm tra bằng cách cộng: 25 + 37 nên bằng 62. Thứ ba, nó xây dựng tư duy đại số – ý tưởng về các phép tính ngược và giải phương trình.

Research by Baroody (2006) đã chỉ ra rằng “học sinh có sự hiểu biết mạnh mẽ về các mối quan hệ ngược không chỉ biết nhiều sự kiện hơn mà còn có khả năng tư duy linh hoạt và giải quyết vấn đề sáng tạo hơn. Họ thấy toán học như một hệ thống được kết nối, không phải một tập hợp các thủ tục riêng biệt”.

Ứng dụng thực tế và giải quyết vấn đề

Phép cộng và trừ không chỉ là bài tập trừu tượng – chúng là công cụ để giải quyết các vấn đề thực tế. Trẻ em cần trải nghiệm với nhiều loại bài toán từ ngữ để phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và hiểu khi nào sử dụng phép tính nào.

Có nhiều cấu trúc vấn đề khác nhau cho cộng và trừ. “Bài toán kết quả không biết” (result unknown) là đơn giản nhất: “Lan có 3 viên bi. Hùng cho cô ấy 4 viên nữa. Bây giờ Lan có bao nhiêu viên bi?” (3 + 4 = ?). Nhưng cũng có “bài toán phần thay đổi không biết” (change unknown): “Lan có 3 viên bi. Hùng cho cô ấy thêm một số. Bây giờ cô ấy có 7 viên bi. Hùng đã cho cô ấy bao nhiêu viên bi?” (3 + ? = 7). Hoặc “bài toán phần bắt đầu không biết” (start unknown): “Lan có một số viên bi. Hùng cho cô ấy 4 viên nữa. Bây giờ cô ấy có 7 viên bi. Lan có bao nhiêu viên bi ban đầu?” (? + 4 = 7).

Mặc dù tất cả ba bài toán này có thể được giải bằng cùng một phương trình toán học (3 + 4 = 7 hoặc 7 – 3 = 4), chúng khác nhau về độ khó nhận thức. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng bài toán “phần bắt đầu không biết” khó nhất, ngay cả khi các số giống nhau.

Carpenter và cộng sự đã phân loại các loại bài toán cộng/trừ thành nhiều danh mục dựa trên cấu trúc ngữ nghĩa của chúng. Họ phát hiện ra rằng “học sinh phát triển các chiến lược khác nhau cho các loại vấn đề khác nhau, và việc tiếp xúc với nhiều loại vấn đề giúp xây dựng sự hiểu biết mạnh mẽ và linh hoạt hơn”.

Phép cộng và phép trừ, mặc dù có vẻ đơn giản, là nền tảng của tất cả toán học. Hiểu sâu về chúng – không chỉ cách thực hiện các thủ tục mà tại sao chúng hoạt động, cách chúng liên quan với nhau, và khi nào áp dụng chúng – là thiết yếu cho sự thành công toán học. Trong bài tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển sang phép nhân và phép chia, khám phá cách chúng được xây dựng dựa trên phép cộng và trừ nhưng giới thiệu các khái niệm và thách thức mới.