Mối quan hệ giữa khoa học và toán học

Từ chuyển động của các hành tinh đến hành vi của các hạt hạ nguyên tử, từ sự tăng trưởng của dân số đến hình dạng của vỏ ốc, toán học dường như là chìa khóa để mở khóa các bí mật của tự nhiên. Nhưng tại sao toán học lại hiệu quả như vậy trong việc mô tả thế giới vật lý? Và mối quan hệ giữa toán học và khoa học thực sự là gì?

Toán học: Ngôn ngữ của khoa học

Toán học đóng vai trò không thể thiếu trong hầu hết các ngành khoa học hiện đại. Trong vật lý, các phương trình không chỉ mô tả các hiện tượng mà thực sự dường như nắm bắt bản chất của chúng. Phương trình E=mc² của Einstein không chỉ tính toán năng lượng – nó tiết lộ mối quan hệ sâu sắc giữa khối lượng và năng lượng, thay đổi cách chúng ta hiểu về thực tại. Các phương trình Maxwell về điện từ học không chỉ dự đoán sự tồn tại của sóng điện từ mà còn cho thấy ánh sáng chính nó là một sóng điện từ.

Eugene Wigner, nhà vật lý đoạt giải Nobel, đã viết một bài tiểu luận nổi tiếng năm 1960 có tựa đề “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” (Hiệu quả Phi lý của Toán học trong Khoa học Tự nhiên). Wigner bày tỏ sự kinh ngạc của mình trước việc các cấu trúc toán học được phát triển cho mục đích thuần túy lý thuyết sau này lại được phát hiện là mô tả hoàn hảo các hiện tượng vật lý. Ông viết: “Sự hiệu quả phi thường của toán học trong các khoa học tự nhiên là điều gì đó gần như thần bí và không có giải thích hợp lý cho nó… Thích hợp kỳ diệu của ngôn ngữ toán học cho việc hình thành các định luật vật lý là một món quà kỳ diệu mà chúng ta không hiểu cũng như không xứng đáng.”

Ví dụ mà Wigner đưa ra bao gồm các số phức (complex numbers), ban đầu được phát triển như các đối tượng toán học trừu tượng, sau này hóa ra là thiết yếu cho cơ học lượng tử. Hình học Riemann, được phát triển vào thế kỷ 19 như một khái quát hóa toán học thuần túy của hình học Euclid, sau này trở thành khuôn khổ toán học cho thuyết tương đối tổng quát của Einstein. Paul Dirac, nhà vật lý lý thuyết vĩ đại, đã phát triển một phương trình toán học cho electron dựa trên các cân nhắc về tính đẹp toán học – phương trình này không chỉ mô tả electron mà còn dự đoán sự tồn tại của phản vật chất, điều sau này được xác nhận thực nghiệm.

Mario Livio, trong cuốn sách “Is God a Mathematician?” đã khám phá câu hỏi về việc toán học được phát minh hay được khám phá. Ông lập luận rằng trong khi một số toán học có vẻ là sáng tạo của con người, tính hiệu quả của nó trong việc mô tả tự nhiên cho thấy nó cũng tiết lộ một cái gì đó thực sự về cấu trúc của vũ trụ. Livio viết: “Toán học là một hỗn hợp kỳ lạ của phát minh và khám phá. Con người phát minh ra các khái niệm toán học… nhưng sau đó khám phá ra rằng các khái niệm này mô tả các khía cạnh của thế giới tự nhiên với độ chính xác đáng kinh ngạc.”

Toán học trong các ngành khoa học khác nhau

Vật lý học (physics) là ngành khoa học toán học hóa nhất. Từ cơ học Newton đến điện từ học Maxwell đến cơ học lượng tử và tương đối, tiến bộ trong vật lý thường đi kèm với sự phát triển của các công cụ toán học mới. Steven Weinberg, nhà vật lý đoạt giải Nobel, đã viết: “Chúng tôi không chỉ sử dụng toán học trong vật lý vì nó hữu ích. Chúng tôi sử dụng nó vì không có cách nào khác để diễn đạt những gì chúng tôi phải nói.”

Richard Feynman đã giải thích tại sao toán học là cần thiết trong vật lý: “Nếu bạn muốn học về tự nhiên, đánh giá tự nhiên, trở nên gần gũi với tự nhiên, tìm hiểu về tự nhiên, thật không may bạn phải hiểu ngôn ngữ mà cô ấy nói. Cô ấy cung cấp thông tin chỉ trong một ngôn ngữ, và cô ấy rất cứng đầu về nó… và ngôn ngữ đó là toán học.”

Hóa học (chemistry) cũng phụ thuộc nhiều vào toán học. Cơ học lượng tử, được diễn đạt bằng toán học phức tạp, là nền tảng cho việc hiểu liên kết hóa học và cấu trúc phân tử. Linus Pauling đã sử dụng cơ học lượng tử để giải thích bản chất của liên kết hóa học, công trình đã mang về cho ông giải Nobel Hóa học. Động học hóa học (chemical kinetics) sử dụng phương trình vi phân để mô tả tốc độ phản ứng. Nhiệt động lực học sử dụng toán học để mô tả năng lượng và entropy.

Sinh học (biology) truyền thống ít toán học hơn vật lý và hóa học, nhưng điều này đã thay đổi đáng kể trong những thập kỷ gần đây. Di truyền học dân số sử dụng các mô hình toán học để mô tả sự thay đổi tần số alen. Sinh thái học sử dụng phương trình vi phân để mô hình hóa động lực dân số. Sinh học hệ thống (systems biology) sử dụng toán học phức tạp để hiểu các mạng lưới sinh học. Sinh học tính toán (computational biology) và sinh tin học (bioinformatics) dựa vào toán học và khoa học máy tính để phân tích dữ liệu gen và protein.

Ronald Fisher, nhà thống kê và nhà sinh học, đã có vai trò quan trọng trong việc toán học hóa sinh học. Trong “The Genetical Theory of Natural Selection” (1930), Fisher đã sử dụng toán học để chứng minh cách chọn lọc tự nhiên hoạt động ở cấp độ di truyền. Ông viết: “Không ai có thể kiểm tra bất kỳ lý thuyết chung nào về di truyền tự nhiên ngoại trừ bằng phương tiện toán học.” J.B.S. Haldane và Sewall Wright cũng đã sử dụng toán học để phát triển lý thuyết tổng hợp hiện đại của tiến hóa.

Khoa học xã hội (social sciences) cũng ngày càng sử dụng toán học, mặc dù với mức độ thành công khác nhau. Kinh tế học sử dụng toán học rộng rãi để xây dựng các mô hình của hành vi kinh tế. Paul Samuelson, trong “Foundations of Economic Analysis” (1947), đã tái thiết lập nền tảng toán học của lý thuyết kinh tế. Tuy nhiên, các nhà phê phán lập luận rằng kinh tế học đôi khi quá phụ thuộc vào các mô hình toán học đơn giản hóa mà không nắm bắt được sự phức tạp của hành vi con người.

Toán học được phát minh hay được khám phá?

Câu hỏi triết học cơ bản về toán học là: Nó tồn tại độc lập với con người hay là sáng tạo của chúng ta? Quan điểm Platonism toán học (mathematical Platonism) cho rằng các đối tượng toán học tồn tại độc lập trong một “thế giới của các ý tưởng,” và con người khám phá chúng hơn là phát minh ra chúng. Quan điểm này được đặt tên theo Plato, người đã dạy rằng các hình thức hoàn hảo tồn tại trong một lĩnh vực trừu tượng, và các vật thể vật lý chỉ là bóng tối không hoàn hảo của chúng.

Kurt Gödel, một trong những nhà logic học vĩ đại nhất, là một Platonist. Ông tin rằng các đối tượng toán học là thực trong cùng nghĩa mà các vật thể vật lý là thực, mặc dù chúng không tồn tại trong không gian và thời gian. Roger Penrose, nhà vật lý và nhà toán học, cũng bảo vệ một hình thức Platonism. Trong “The Road to Reality,” Penrose lập luận rằng các cấu trúc toán học có một loại thực tại khách quan, và nhiệm vụ của nhà toán học là khám phá chúng. Ông viết: “Có ba thế giới – thế giới vật lý, thế giới tâm lý, và thế giới toán học Platonist – và mối quan hệ bí ẩn giữa chúng.”

Mặt khác, constructivism toán học (mathematical constructivism) lập luận rằng toán học là một cấu trúc của tâm trí con người. Theo quan điểm này, không có các đối tượng toán học tồn tại “ngoài kia” – chỉ có các hệ thống ký hiệu và quy tắc mà con người tạo ra. Leopold Kronecker, nhà toán học thế kỷ 19, đã nói nổi tiếng: “Thiên Chúa tạo ra các số nguyên, tất cả phần còn lại là công việc của con người.” L.E.J. Brouwer phát triển intuitionism, một hình thức của constructivism, lập luận rằng toán học là một hoạt động của tâm trí con người và không có ý nghĩa độc lập với suy nghĩ con người.

Quan điểm trung gian được đề xuất bởi Imre Lakatos trong “Proofs and Refutations.” Lakatos lập luận rằng toán học phát triển qua một quá trình “phỏng đoán và bác bỏ” tương tự như khoa học thực nghiệm. Các khái niệm toán học không được khám phá trong một hình thức hoàn hảo cũng như không được phát minh tùy tiện – chúng được tinh chế và phát triển qua cuộc đối thoại giữa các nhà toán học.

Reuben Hersh, trong “What Is Mathematics, Really?” đề xuất một quan điểm “humanist” hoặc “social constructivist,” lập luận rằng toán học là một hoạt động xã hội của con người. Ông viết: “Toán học là sáng tạo và khám phá. Nó là sáng tạo của con người theo nghĩa rằng toán học không thể tồn tại mà không có nhà toán học để nghĩ về nó… Nhưng đồng thời, đó là khám phá, vì một khi một cấu trúc toán học đã được tạo ra, nó có các thuộc tính mà chúng ta phải khám phá.”

Giới hạn của toán học trong khoa học

Mặc dù toán học là công cụ mạnh mẽ cho khoa học, nó cũng có giới hạn. Không phải tất cả các hiện tượng khoa học đều có thể được nắm bắt đầy đủ bằng toán học, đặc biệt là trong các khoa học phức tạp như sinh học và khoa học xã hội. Ernst Mayr, nhà sinh học tiến hóa, đã lập luận rằng sinh học cần các loại giải thích khác với vật lý, tập trung vào lịch sử và chức năng hơn là chỉ các quy luật toán học. Ông viết: “Các lý thuyết và khái niệm của sinh học không thể được rút ra từ các định luật vật lý và hóa học.”

Hơn nữa, việc dựa vào toán học quá mức có thể đôi khi che giấu sự thiếu hiểu biết thực sự. Freeman Dyson đã cảnh báo về “chủ nghĩa toán học hóa” (mathematitis) – xu hướng ưu tiên sự thanh lịch toán học hơn thực tại vật lý. Ông viết: “Trong vật lý, bạn không phải hiểu mọi thứ. Bạn chỉ cần biết được rằng có một số điều mà bạn không hiểu.” Richard Hamming đã lặp lại điểm này: “Mục đích của tính toán là insight, không phải numbers.

Trong khoa học xã hội, việc sử dụng toán học đôi khi bị chỉ trích là “physics envy” – mong muốn bắt chước sự chính xác và uy tín của vật lý mà không có cơ sở thực nghiệm tương tự. Friedrich Hayek, nhà kinh tế đoạt giải Nobel, đã cảnh báo về “chủ nghĩa khoa học” (scientism) – việc áp dụng không phù hợp các phương pháp của khoa học tự nhiên vào khoa học xã hội. Ông lập luận rằng các hiện tượng xã hội phức tạp thường không thể giảm xuống các phương trình toán học đơn giản.

Cuối cùng, các định lý giới hạn của Gödel (Gödel’s incompleteness theorems) đã cho thấy rằng ngay cả trong toán học thuần túy, có những giới hạn cơ bản đối với những gì có thể được chứng minh. Gödel đã chứng minh rằng trong bất kỳ hệ thống tiên đề đủ mạnh nào để chứa số học, sẽ luôn có các tuyên bố đúng không thể được chứng minh trong hệ thống đó. Điều này cho thấy rằng toán học, mặc dù mạnh mẽ, không phải là toàn năng.

Trong bài cuối cùng của series này, chúng ta sẽ khám phá câu hỏi về nguồn gốc địa lý của khoa học: Khoa học được phát minh ở đâu? Chúng ta sẽ thấy rằng câu trả lời không đơn giản, và rằng nhiều nền văn minh đã đóng góp vào sự phát triển của tư duy khoa học.