Bài viết này nói về cách tính số Pi theo một phương pháp “kỳ quặc” mà người xưa đã sử dụng. Suốt 2000 năm, phương pháp được cho là thành công nhất lại vô cùng chậm chạp và tẻ nhạt, cho đến khi Isaac Newton xuất hiện và thay đổi hoàn toàn cục diện. Có thể nói, ông đã “tính Pi cực tốc” và bây giờ tôi sẽ chỉ cho bạn cách mà ông đã làm điều đó.
Số Pi qua hình ảnh những chiếc pizza
Hãy bắt đầu với ví dụ minh họa bằng những chiếc pizza. Nếu bạn cắt bỏ phần vỏ của một chiếc pizza và xếp các miếng vỏ đó lên trên các chiếc pizza giống hệt nhau, bạn sẽ nhận ra rằng chúng trải dài qua hơn ba chiếc pizza. Điều này minh họa rằng chu vi của một đường tròn xấp xỉ bằng 3.14 lần đường kính của nó. Hơn nữa, số Pi còn liên quan đến diện tích của đường tròn theo công thức: diện tích = Pi × R². Để hiểu tại sao diện tích lại là Pi R², hãy tưởng tượng cắt chiếc pizza thành những lát rất mỏng rồi sắp xếp chúng thành một hình chữ nhật. Diện tích của hình chữ nhật được tính bằng tích của chiều dài và chiều rộng. Ở đây, chiều dài chính là một nửa chu vi của đường tròn (vì một bên có một nửa vỏ pizza và bên kia cũng vậy), tức là Pi × R, và chiều rộng chính là bán kính R. Do đó, diện tích = Pi × R × R = Pi R². Đặc biệt, diện tích của một đường tròn đơn vị chính là Pi – một thông tin quan trọng sẽ được dùng sau này.
Phương pháp tính Pi truyền thống
Vậy, phương pháp “kỳ quặc” mà người xưa dùng để tính Pi là gì? Thực ra, đó là cách tiếp cận rất hiển nhiên. Ta có thể dễ dàng chứng minh rằng Pi nằm trong khoảng từ 3 đến 4. Ví dụ, hãy vẽ một đa giác đều hình lục giác nội tiếp trong một đường tròn. Một lục giác đều có thể chia thành sáu tam giác bằng nhau. Giả sử mỗi cạnh của lục giác có độ dài bằng 1, thì đường kính của đường tròn là 2, và chu vi của lục giác là 6. Vì chu vi của đường tròn phải lớn hơn chu vi của lục giác, nên Pi > 6/2, tức lớn hơn 3. Ngược lại, nếu bạn vẽ một hình vuông ngoại tiếp quanh đường tròn, chu vi của hình vuông là 8, lớn hơn chu vi của đường tròn, do đó Pi < 8/2, tức nhỏ hơn 4. Phương pháp ước lượng này đã được biết đến hàng ngàn năm trước.
Cải tiến của Archimedes
Vào năm 250 TCN, Archimedes đã cải tiến phương pháp này. Ông bắt đầu với một lục giác nội tiếp và sau đó liên tục chia đôi các góc để tạo thành một đa giác 12 cạnh (dodecagon). Bằng cách tính chu vi của đa giác này, ông có được một cận dưới cho chu vi của đường tròn (và do đó cho số Pi). Sau đó, ông cũng thực hiện tương tự với một đa giác 12 cạnh ngoại tiếp để tìm cận trên cho Pi. Khi tiếp tục với các đa giác có 12, 24, 48 và cuối cùng là 96 cạnh, các phép tính trở nên phức tạp hơn nhiều—yêu cầu phải tính căn bậc hai (và cả căn bậc hai của căn bậc hai) và chuyển đổi thành phân số. Cuối cùng, Archimedes đã đưa ra rằng Pi nằm trong khoảng từ 3.1408 đến 3.1429. Suốt hơn 2000 năm, mức độ chính xác này đã được coi là vượt trội, hơn cả mức cần thiết cho các mục đích thực tế, và sau này các phép tính bằng cách chia đa giác dần trở nên như một “biểu diễn thể hiện sức mạnh toán học.”
Tiếp nối qua các thời đại
Trong 2000 năm tiếp theo, các nhà toán học từ Trung Quốc, Ấn Độ, Ba Tư và Ả Rập tiếp tục cải tiến phương pháp chia đa giác để thu hẹp cận cho Pi. Vào cuối thế kỷ 16, nhà toán học người Pháp François Viète đã nhân đôi số cạnh của đa giác nhiều lần, tính chu vi của một đa giác có 393.216 cạnh. Đến đầu thế kỷ 17, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen đã dành 25 năm để tính chu vi của một đa giác có 2⁶² cạnh (một con số khổng lồ) nhằm đạt được độ chính xác cao cho số Pi. Kết quả của ông là 35 chữ số thập phân đúng, con số mà ông còn được khắc lên bia mộ của mình; sau 20 năm, Christoph Grienberger lại vượt qua với 38 chữ số chính xác. Tuy nhiên, Grienberger là người cuối cùng theo cách tính như vậy, vì ngay sau đó, Sir Isaac Newton đã giới thiệu một phương pháp đột phá, làm cho cách chia đa giác trở nên lỗi thời.
Newton và phương pháp đột phá
Năm 1666, khi Newton mới 23 tuổi và đang cách ly tại nhà vì dịch bệnh hạch, ông bắt đầu thử nghiệm với các biểu thức đơn giản như (1 + X)². Mở rộng biểu thức này cho ta: 1 + 2X + X²; tương tự, (1 + X)³ mở rộng thành 1 + 3X + 3X² + X³, và cứ thế tiếp tục. Newton nhận ra rằng các hệ số trong những khai triển này trùng khớp với các số trong tam giác Pascal – một mô hình đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại ở nhiều nền văn hóa khác nhau. Nhờ đó, ta có thể nhanh chóng tính được các hệ số cho bất kỳ lũy thừa nào của (1 + X) mà không cần phải làm những phép tính rườm rà.
Định lý nhị thức và mở rộng của Newton
Theo thời gian, người ta đã rút ra một công thức tổng quát cho các số trong tam giác Pascal, dẫn đến Định lý nhị thức. Định lý này khẳng định rằng với một số nguyên dương N,
(1 + X)ᴺ = 1 + N·X + [N(N – 1)/2!]·X² + [N(N – 1)(N – 2)/3!]·X³ + …
Mặc dù công thức này đã được biết đến vào thời Newton, ông đã can đảm áp dụng nó ngay cả khi N không phải là số nguyên dương. Ví dụ, khi thay N = –1, ông có được khai triển chuỗi vô hạn cho 1/(1 + X):
1/(1 + X) = 1 – X + X² – X³ + X⁴ – X⁵ + …
Ở đây, các số hạng xen kẽ dấu âm và dương, kéo dài vô hạn. Newton đã chứng minh rằng nếu nhân chuỗi vô hạn này với (1 + X), tất cả các số hạng sẽ triệt tiêu nhau ngoại trừ số 1 đứng đầu, khẳng định rằng chuỗi thực sự bằng 1/(1 + X). Qua đó, ông tự tin rằng Định lý nhị thức vẫn áp dụng được ngay cả với N âm.
Ứng dụng với số mũ phân số và hình tròn
Newton không dừng lại ở các số nguyên mà còn mở rộng sang các số mũ phân số. Ví dụ, khi lấy N = 1/2, (1 + X)^(1/2) tương đương với căn bậc hai của (1 + X) và có thể khai triển thành chuỗi vô hạn. Điều này gợi ý rằng ta có thể “chèn” các hàng phân số vào trong tam giác Pascal, mở rộng khái niệm ngoài phạm vi số nguyên. Một ứng dụng thực tiễn của phương pháp này là tính √3. Bằng cách biểu diễn 3 dưới dạng (4 – 1) và sắp xếp lại các số hạng, Newton đã có được một chuỗi hội tụ nhanh, giúp tính √3 với độ chính xác cao. Ông đặc biệt quan tâm đến trường hợp N = 1/2 vì nó liên quan đến phương trình của một đường tròn đơn vị, X² + Y² = 1. Giải phương trình theo Y cho ta:
Y = (1 – X²)^(1/2),
một dạng tương tự như chuỗi mà ông đã nghiên cứu, chỉ khác là thay X bằng –X², tạo ra một chuỗi số hạng liên quan đến các số vô tỷ nhân với lũy thừa của X.
Tích phân và tính Pi
Tại thời điểm này, Newton nhận ra rằng mình có thể sử dụng tích phân để tính số Pi. Bằng cách tích phân hàm số Y = (1 – X²)^(1/2) từ X = 0 đến X = 1, ông tính được diện tích dưới đường cong, tương đương với diện tích một phần tư của đường tròn. Vì diện tích của đường tròn đơn vị là Pi, nên diện tích phần tư đó là Pi/4. Đồng thời, sử dụng chuỗi vô hạn của mình và công thức cơ bản để tích phân các lũy thừa của X (tăng số mũ lên 1 và chia cho số mũ mới), Newton đã có được một chuỗi vô hạn cho Pi. Ông còn cải tiến thêm bằng cách tích phân từ 0 đến 1/2 thay vì từ 0 đến 1, khiến cho các số hạng của chuỗi giảm nhanh hơn (với hệ số giảm thêm (1/2)² = 1/4), do đó cần ít số hạng hơn để đạt độ chính xác cao. Ví dụ, chỉ với 5 số hạng đầu, ông đã tính được Pi ≈ 3.14161 – chỉ sai lệch 2 phần trên 100.000. So với phương pháp chia đa giác cực kỳ tốn thời gian của van Ceulen, phương pháp của Newton chỉ mất vài ngày để đạt được độ chính xác tương đương.
Kết luận về công nghệ và sự đổi mới
Sự cải tiến đột phá này cho thấy rằng cách làm truyền thống, mặc dù hiển nhiên, không phải lúc nào cũng là cách tối ưu. Đôi khi, việc khám phá các mẫu số học và mở rộng chúng vượt ra ngoài giới hạn quen thuộc lại dẫn đến những bước tiến vượt bậc. Nói cách khác, khi công nghệ và tư duy toán học mới xuất hiện, chúng có thể làm cho những phương pháp cũ kỹ trở nên lỗi thời, giống như việc thay cầu trục (crane) cho thang khi xây dựng những tòa cao tầng.
